目前，國產(chǎn)及進口專用機床所提供的編程系統(tǒng)均采用平面包絡(luò)計算方法，即認為加工過程中刀具與工件的接觸點軌跡為平面曲線。而實際在三坐標專用數(shù)控銑床上進行包絡(luò)加工時，刀觸點軌跡為復(fù)雜的空間曲線，因此，按平面包絡(luò)計算方法所得的刀具軌跡及數(shù)控程序必然存在理論誤差，影響加工精度。筆者對截面包絡(luò)法數(shù)控加工螺旋面時，刀觸點和刀具運動軌跡的計算方法進行研究，提出一種新的計算刀觸點的“最小有向距離算法”。這種算法不僅適用于在三坐標聯(lián)動的數(shù)控機床上加工螺旋面，而且，可推廣到多軸聯(lián)動的數(shù)控機床上加工自由曲面。
　　1“最小有向距離算法”的原理
最小有向距離算法中，所謂的“有向距離”指在空間6個自由度的距離，包括直線距離和轉(zhuǎn)向距離。而在數(shù)控加工時，3個平動運動（X、Y、Z）和3個旋轉(zhuǎn)運動（A、B、C）完成的先后順序不影響刀具的最后位置，實線表示路徑為先作旋轉(zhuǎn)運動后作平移運動，虛線表示先作平移運動后作旋轉(zhuǎn)運動，在前幾個平動運動或旋轉(zhuǎn)運動后，剩下最后一個運動（平動或旋轉(zhuǎn)運動）則稱為終結(jié)運動。將刀具的運動離散稱為各個自由度的獨立運動，當(dāng)幾個自由度的運動完成后，剩下1個終結(jié)運動時，就將運動模型簡化為單自由度運動問題，在這種運動模型下對“最小有向距離算法”進行討論。
　　最小有向距離算法近似于投影法，假設(shè)刀具位于某個不干涉的初始位置，為找到每個接觸點的位置，將刀具運動方向由遠處向工件運動，與待加工曲面剛好接觸為止，接觸點即為嚙合點（刀觸點）。尋找刀觸點的問題實際上就是求解刀具曲面和被加工曲面的有向距離最小值的問題。假設(shè)刀具從一個位置向下一個位置運動時，已完成幾個自由度的運動，最后只剩1個平動的終結(jié)運動，沿該運動方向與待加工曲面接觸。
　　這里的終結(jié)運動方向在數(shù)控機床上為X、Y、Z三個坐標軸方向的任意一個。不失一般性，設(shè)刀具沿X軸方向的運動為終結(jié)運動。
　　如所示，取坐標系S（O-X，Y，Z）。假定有構(gòu)件1和2，其上分別有曲面F1和F2存在。設(shè)構(gòu)件1靜止不動，構(gòu)件2只沿X軸作平移運動。構(gòu)件2自初始位置作位移Δx后，曲面F2達到位置F2′，那么沿X軸方向距離最近的一對對應(yīng)點M1和M2首先在M1點接觸―――接觸條件。如果在M1點處2個曲面的法線方向相同，即滿足嚙合條件中的相切條件，那么點M1和M2則是一對嚙合點。
　　2原理的論證
首先證明F1、F2兩曲面上沿X軸方向距離最小的對應(yīng)點M1和M2，在兩曲面沿X軸方向平移接觸時為一對滿足嚙合條件的接觸點，即證明其法線方向一致。設(shè)曲面F1和F2是光滑曲面，其方程分別為：F1（x，y，z）=0（1）F2（x，y，z）=0（2）解析上要求函數(shù)F1（x，y，z）和F2（x，y，z）一階連續(xù)可微，有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，二階偏導(dǎo)數(shù)存在且不為零。
　　假設(shè)在接觸點M1（x，y，z）的附近有9F1/9x≠0，9F2/9x≠0（若9F1/9x或9F2/9x中有一個為零，這時則在M1點該曲面的切平面與x軸平行，可以選取y軸或z軸方向為終結(jié)運動方向），根據(jù)隱函數(shù)存在定理，有且僅有一個有單值連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)存在：x=f1（y，z）（3）x=f2（y，z）（4）式（3）、（4）分別為F1、F2曲面方程顯函數(shù)表示形式。即：x-f1（y，z）=0（5）x-f2（y，z）=0（6）那么兩曲面上這一對應(yīng)點之間的距離為：Δx=G（y，z）=f2（y，z）-f1（y，z）（7）式中：G（y，z）為關(guān)于y，z的函數(shù)。
　　根據(jù)曲面法矢量的定義，兩曲面上任意一點的法線矢量分別為：N_1={1，-f1y，-f1z}（8）N_2={1，-f2y，-f2z}（9）由于曲面F2只沿x軸方向運動使點M1和M2達到接觸，所以M1點和M2點在y，z軸上的坐標值相同。設(shè)M1點坐標為（x1，y1，z1），M2點坐標為（x2，y1，z1）則有：曲面F1上M1點的法矢量為：
　　N_M1={1，-f1y1，-f1z1}（10）曲面F2上M2點的法矢量為：N_M2={1，-f2y2，-f2z2}（11）單位法矢量分別為：n_1=1‖N_M1‖{1，-f1y，-f1z}（12）n_2=1‖N_M2‖{1，-f2y，-f2z}（13）式中：‖N_M1‖，‖N_M1‖分別為法矢量N_M1，N_M2的模?！琋_M1‖=1 f1y2 f1z2，‖N_M2‖=1 f22y f22z在初始位置時，M1，M2點之間的距離為Δx，則有：Δx=x2-x1=G（y1，z1）=f2（y1，z1）-f1（y1，z1）（14）根據(jù)2個可導(dǎo)函數(shù)之和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這2個函數(shù)導(dǎo)數(shù)之和（差）的性質(zhì)可知，函數(shù)Δx=G（y，z），在點（y1，z1）處的一階偏導(dǎo)數(shù)9G9y，9G9z存在且連續(xù)。
　　9G9y=9f29y-9f19y（15）9G9z=9f29z-9f19z（16）又因M1、M2兩點間距離最近，函數(shù)Δx=G（y，z）在點（y1，z1）處有極小值，根據(jù)函數(shù)取得極值的必要條件可知，它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即：（9f29y-9f19y）（y1，z1）=0（17）（9f29z-9f19z）（y1，z1）=0（18）則有：f2y（y1，z2）=f1y（y1，z2）（19）f2z（y1，z2）=f1z（y1，z2）（20）將式（19）、（20）依次代入式（12）、（13）中得：n_1=n_2。
　　也就是說在沿x軸方向距離最近的一對對應(yīng)點M1、M2處，法線矢量方向相同。又有在空間直角坐標系中，向量沿任意方向作平移運動，其大小、方向均不變。所以，兩曲面F1、F2在接觸點M′處相切，滿足相切條件。
　　在不干涉的前提下，任一瞬時曲面F1、F2上沿x軸方向距離最近的一對對應(yīng)M1、M2經(jīng)平移后，在點M′處接觸，既滿足嚙合條件的接觸條件又滿足相切條件，所以這一對對應(yīng)點嚙合點。還可證明，若M1和M2點分別是F1、F2兩曲面上沿x軸方向平行移動時的一對嚙合點，則M1和M2是F1和F2兩曲面上的一對距離最近的點。
　　這樣就得到一個定理，在不干涉條件下，兩個連續(xù)可微曲面在給定的直線方向上，距離最小的點就是兩曲面沿該方向平動接觸時的嚙合點，充分條件和必要條件均成立。
　　3結(jié)論
在實際應(yīng)用中，一般簡化為終結(jié)運動平動的運動模型。因為在應(yīng)用該理論進行程序編制時，有向距離的計算是程序計算的核心部分，循環(huán)次數(shù)最多。終結(jié)運動為平動時，方程的建立比較容易，且只是簡單的直線距離計算問題，計算速度快。而終結(jié)運動為旋轉(zhuǎn)運動時，相對于平動而言，由于涉及到旋轉(zhuǎn)角度問題方程的建立比較麻煩。此外，目前的數(shù)控機床，無論是二軸聯(lián)動還是多軸聯(lián)動機床，均有平動運動，所以在實際應(yīng)用時，一般將平動運動作為終結(jié)運動來進行分析計算。